圓周率概說

圓的度量問題在古代幾何學中佔有極重要的地位。因為在人類對於形狀的認識與探測的過程中,它是由「直」跨入「曲」關鍵的第一步,也是數學思想從「有限」進到「無限」的一次飛躍。

世界上文明的古國中,有許多關於圓周率的研究:

埃及在西元前400年就推算出π=3
希臘的歐基里德則在西元前200年推算出π=3.14286
而在西元前100年前,中國的古書「周髀算經」中則記載著「周三徑一」。

所謂的圓周率就是指圓周長和直徑長的比。
π=圓周長/直徑長。

圓周率被應用的地方甚多

割圓數實證
在魏晉時(西元263年),數學家劉徽以割圓數求得π=3.141024,劉徽的割圓術是:

1.圓內接一個正六邊形,求得六邊形的一邊邊長等於此圓的半徑
2.圓內接正六邊形推算得圓內接正十二邊形,再推算得圓內接正二十四邊形,以此類推…
3.然而圓內接正多邊形時,此多邊形則接近圓形。


圓內接正六邊形 ∵正六邊形的內角和為720度
∴每一個三角形的底角∠ABC、∠ACB角度為60度 故,△ABC的頂角∠BAC也是60度,則△ABC為一正三角形
∵△ABC為一正三角形,∴邊AB=邊BC=邊AC
∵邊AB=圓半徑s,∴邊BC=圓半徑s

設圓內所接之正六邊形邊長為C6
則C6=6倍邊BC=6s

而直徑與周徑之比為2S:6S=2:6=1:3
因此,證明了中國古書「周髀算經」中記載著「周三徑一」之說的由來。


祖沖之的約密率

繼劉徽後,祖沖之又提出「約率」與「密率」

他求算出約率為22/7,約等於3.14

密率為335/113,約等於3.1415929

這個數字與準確的圓周率π值的小數後6位數字相符合。

直到經過1000年後(西元1436年)印度的阿爾卡西(Al-Katij)才求算出π=3.142592653打破了祖沖之的記錄。